Cách tính giai thừa trong toán học

Giai thừa – một khái niệm mới mẻ, được “đề cập” lần đầu khi chúng ta làm quen với khái niệm Hoán vị trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11. Khái niệm này có vai trò rất quan trọng, các công thức về số Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp đều được xây dựng trên nó. Vì thế, hầu hết các bài toán liên quan đến Đại số Tổ hợp đều quy về bài toán biến đổi, rút gọn, tính các biểu thức liên quan đến Giai thừa.

Bạn đang xem: Cách tính giai thừa trong toán học

Giai thừa lớn chứa giai thừa bé

Tuy nhiên, trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11, khái niệm Giai thừa chỉ xuất hiện ở dạng “đề cập” mà không được giới thiệu một cách đầy đủ và hầu như không có bài tập củng cố khái niệm này. Bài viết này mình chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm dạy và học, đặc biệt là “khẩu quyết” khi vận dụng nó trong quá trình giải toán. Hy vọng bài viết có ích cho bạn.

Cho là số tự nhiên dương. Tích của số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến được gọi là n – giai thừa. Kí hiệu là

Như vậy, kí hiệu là một số nguyên dương được tính bởi công thức

hoặc

Ví dụ

Tích của 1 số từ 1 đến 1Tích của 2 số liên tiếp, từ 1 đến 2Tích của 3 số liên tiếp, từ 1 đến 3Tích của 4 số liên tiếp, từ 1 đến 4Tích của 5 số liên tiếp, từ 1 đến 5

Xem thêm: Game Kẻ Cắp Mặt Trăng Miễn Phí, Chơi Game Kẻ Cắp Mặt Trăng

Theo định nghĩa trên, khái niệm chỉ được định nghĩa với là một số tự nhiên lớn hơn không. Về sau để tiện sử dụng và phù hợp với một số công thức tính toán, người ta “mở rộng” khái niệm Giai thừa cho trường hợp bằng 0 và định nghĩa – hay qui ước: . Bạn có thể Google hoặc xem trên Wikipedia để tìm hiểu thêm về quy ước này!

Quy ước:

Điều kiện xác định

Với quy ước trên, từ giờ trở đi chúng ta cần nhớ

Kí hiệu chỉ có nghĩa khi hay

Tiếp theo, chúng ta cùng tìm hiểu xem Giai thừa có tính chất gì đặc biệt.

2. Tính chất giai thừa

Hãy quay lại ví dụ ở trên, quan sát các giai thừa khi viết chúng ở dạng tích các số tự nhiên liên tiếp và cố gắng tìm ra một mối liên hệ nào đó giữa các giai thừa lớn so với các giai thừa bé hơn. Chẳng hạn, giữa

và hay giữa và ?

Bạn có thấy mối quan hệ gì không?

Đó là, có thể viết

, và , tương tự bạn có thể suy ra ,… và tổng quát ta có:

hay với

Đây chính là tính chất đặc trưng của Giai thừa: Một giai thừa lớn luôn có thể biểu diễn qua một giai thừa bé hơn. Chúng ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng “khẩu quyết” cho dễ nhớ là: “Giai thừa lớn chứa giai thừa bé”. Bây giờ hãy xem khẩu quyết này lợi hại thế nào