CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Mời chúng ta cùng xem thêm nội dung bài xích giảng Bài 1: Hệ phương trình con đường tính sau đây để mày mò về dạng trình diễn ma trận, giải hệ phương trình con đường tính bằng cách thức Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất,...

Bạn đang xem: Cách giải phương trình tuyến tính

1. Dạng trình diễn ma trận

2. Giải hệ phương trình tuyến đường tính bằng cách thức Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất

Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình tuyến đường tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

Khi đó, hệ phương trình trên hoàn toàn có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường phù hợp tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến đường tính nẩn như sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). Lúc đó, hệ phương trình trên rất có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là AX = B.

2. Giải hệ phương trình con đường tính bằng phương pháp Gauss.

Một phương thức thông dụng nhằm giải hệ phương trình tuyến đường tính là phương thức Gauss, gửi ma trận hệ số mở rộng (overline A ) về dạng lan can hay cầu thang thu gọn, nhờ các phép biến hóa sơ cấp trên dòng.

Xem thêm: Co Dau 8 Tuoi P9 Tap 95 - Cô Dâu 8 Tuổi (Phần 9) Tập 95

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là :

Ta bao gồm hệ phương trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - alpha ,x_2 = 5 - alpha ,x_3 = alpha )

Như thế, hệ phương trình gồm vô số nghiệm với nghiệm tổng thể là:

(X = (4 - alpha ;5 - alpha ;alpha );alpha in R)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là:

Ta bao gồm hệ phương trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ bao gồm nghiệm nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta tất cả hệ phương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

3. Định lý Cronecker - Capelli

Xét hệ phương trình con đường tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ bao gồm nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ có vô số nghiệm cùng với 2 ẩn chính ứng cùng với 2 thành phần dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn tự do thoải mái x3 ta gồm hệ phương trình tất cả vô số nghiệm cùng với nghiệm tổng thể là:(X = left( 1 - fracalpha 2; - 2 + fracalpha 2;alpha ight),với,alpha in R)

4. Hệ Cramer

Hệ phương trình đường tính AX = B được điện thoại tư vấn là hệ Cramer trường hợp A là ma trận vuông ko suy trở thành , nghĩa là(left| A ight| e 0)

Khi đó, ta có nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cấp của ma trận A khá to thì vấn đề tìm(A^-1) tương thay đổi phức tạp. Hơn nữa, có khi ta chi yêu cầu tìm một vài ẩn (x_j) nuốm vì toàn cục các ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Từ đó, fan ta tìm thấy công thúc tính từng ẩn (x_j) phụ thuộc vào công thức (X = A^-1B) như sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận đạt được từ A bằng phương pháp thay cột j bởi vế bắt buộc (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))

5. Hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất.

Hệ phương trình tuyến tính AX = 0 call là hệ thuần nhất. Ngoại trừ các tính chất chung của hệ AX = B, hệ thuần tuyệt nhất AX = 0 còn có các tính chất riêng như sau :

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, phải hệ bao gồm nghiệm duy nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ tất cả vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là:(X = ( - alpha ; - 2alpha ;alpha ) = alpha ( - 1; - 2;1),alpha in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (-1;-2;1). Số chiều của không gian nghiệm là 1.

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm tổng quát là:

(X = (alpha + 2eta ;alpha + eta ;alpha ;eta ) = alpha (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,alpha ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không gian nghiệm là 2.